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DerMathematiker Ludwig Schläfli spricht über Objekten inder vierten Dimension und zeigt uns eine Reihe vonregelmäβiger Polyedern in vierter Dimension;sonderbare Objekte mit 24, 120 und sogar 600 Seiten!
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1. Ludwig Schläfli und dieandere
Wir haben viel gezweifelt, um einen Ansagerfür dieses Kapitel zu wählen. Die Idee der viertenDimension ist nicht Folge von einem einzigen Mann und viele kreativeGeiste sind nötig gewesen, um sie in der Mathematik zuverstehen und zu begründen. Unter den Vorläufernkönnen wir Riemann erwähnen. Er wird der Ansager desneunten Kapitels sein und hatte zweifellos eine sehr genaue Idee dervierten Dimension seit Mitte des 19. Jahrhunderts.
Wir haben Ludwig Schläfli(1814-1895) das Wort erteilt, teilweise, um uns an diesen originalenGeist, der heutzutage sogar unter den Mathematiker fast vergessen ist,zu erinnern. Er war einer der Ersten, denen bewusst worden ist, dasswir uns den vierdimensionalen Raum vorstellen können, und dasswir Geometrietheoreme bezüglich vierdimensionalermathemathiken Objekten beweisen können, selbst wenn unserephysischer Raum ein dreidimensionaler Raum aussieht. Für ihn,die vierte Dimension war eine reine Abstraktion, aber es besteht keineZweifel, dass er nach seine jahrelange Untersuchung sich besser in dervierten Dimension als in der dritten Dimension fühlte. SeinHauptwerk trägt den Titel „Theorie der vielfachenKontinuität” und wurde im 1852 publiziert. Man musszugeben, dass wenige Leser die Wichtigkeit dieses Buches zu seiner Zeitbewertet haben. Es ist nötig gewesen, bis auf den Beginn des20. Jahrhunderts zu warten, damit die Mathematiker den Nutzen solchesgroβartigen Werkes verstünden. Für weitereInformationen über Schläfli, sehen Sie hierund dort(auf Englisch). Sogar unter den Mathematiker, die vierte Dimensionist für langer Zeit geheimnisvoll und unmöglichgehaltet worden. Für das allgemeine Publikum ruft oft dievierte Dimension Sciencefictionromane hervor, in denenparapsychologische Phänomene geschehen, oder dieRelativitätstheorie Einsteins: „die vierte Dimensionist die Zeit, oder?“. Das heiβt mathematische undphysiche Fragen verwechseln. Wir werden weiter vorne dasThema kürzlich wieder aufnehmen. Zuerst versuchen wir das, dieIdee der vierten Dimension zu begreifen, sowie Schläfli macht,als Werk des Geistes. |  |
2. Die Idee von Dimension
Schläfli erinnert uns an Dingen, die wirim vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eineTafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes aufeiner Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich umdie Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punktlinks von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davonliegt.
 | Schläfli erinnert uns an Dingen, die wirim vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eineTafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes aufeiner Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich umdie Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punktlinks von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davonliegt. Die Tafeleben ist also zweidimensional, weil manzweisenkrechte Geraden zeichnen kann, damit jeder Punkt durch zwei Zahlenbeschrieben werden kann: sie sind die Abszisse und die Ordinate. In demRaum, wo wir leben, können wir eine dritte Gerade zeichnen,die senkrecht auf die Tafel steht, um die andere zwei Achsenzu ergänzen. Na ja, es ist ein bisschen komisch, übereine Kreide verfügen, die Geraden aus der Taffel schreibt,aber, denn wir ja zum vierten Dimension abreisen wollen, brauchen wirzauberhafte Kreide! Ein Raumpunkt wird daher durch drei Zahlenbeschrieben, diefast immer x,yund zgennant werden, und deshalb hat unserer Raum drei Dimensionen.Natürlich würde es ganz toll sein, so fortsetzen zukönnen, aber es ist nicht möglich, eine vierte Achse,senkrecht auf die vorige drei Achsen zu zeichnen. Das ist keineÜberraschung, weil unserer physiche Raum 3. Dimension hat, undwir suchen die vierte Dimension nicht da, sondern in unsererVorstellungkraft… |
Schläfli schlägt einigeLösungen vor, damit wir uns eine Idee zu der vierten Dimensionbilden. Es gibt verschiedene Methoden, wie es auch viele Methoden gab,um die ebene Echsen die dritte Dimension zu erklären. DieseMethoden werden uns ermöglichen, einen flüchtigenBlick auf die vierte Dimension zu werfen.
Die erste Methode ist am pragmatischten. Wirkönnen einfach sagen, dass ein Punkt im vierdimensionalen Raumgenau durch die vier Zahlen x, y, z und t gegeben wird. Dies ist nichtsonderlich erhellend, und das ist ein Nachteil, aber es ist ein ganzlogisches Verfahren und die Mehrheit der Mathematiker sind damitzufrieden.
Wir können auch gewöhnlicher Definitionenin 2 und 3 Dimensionen abschreiben, um vierdimensionalen Objektenbeschreiben zu können. Zum Beispiel, können wir dieDefinition von Ebene abschreiben, und dann nennen wir die Menge allerPunkte x,y, z, t, die die lineare Gleichung ax + by + cz+ dt = e entsprechen, eine (Hyper-)Ebene. Man kann mitdiesen Definitionen eine feste Geometrie entwickeln, Theoreme beweisen,usw. Es ist eigentlich die einzige Weise, hochdimensionaleRäume ernst handzuhaben.
Ziel dieses Films ist es, nicht “zuernst” zu sein, sondern die vierte Dimension anstellen, wieeinige Mathematiker sie ahnen.
Schläfli zeigt uns eine Methode, die die Analogieverwendet. Die Idee ist die Dimensionen 1, 2 und 3 zu untersuchen, umbestimmte Phänomene anzumerken, und dann muβ man vermuten,dass diese Phänomene auch in der vierten Dimension geschehen. Esist ein schwieriges Spiel, dass nicht immer funktioniert. Eine Echse,die ihrer Ebene entrinnt und im dreidimensionalen Raum eintritt, wirdüberrascht, und wird Zeit brauchen, um sich daran zugewöhnen. Dasselbe passiert mit einem Mathematiker, der mitAnalogien im vierdimensionalen Raum eintritt… Das BeispielSchläflis ist die Folge: „Geradensegment, gleichsenkligesDreieck, Tetraeder”. Es gibt eine Analogie zwischen diesenObjekten; es ist klar, dass der Tetraeder die Entsprechung zumgleichsenkligen Dreieck in 3. Dimension ist.
Und dann, welches Objekt entspricht dem Tetraederin der 4. Dimension? Die Geradensegment besitzt zwei Eckpunkte und istin 1.Dimension. Das Dreieck besitzt drei Eckpunkte und es hat 2. Dimension.Der Tetraeder besitzt vier Eckpunkte und es hat 3. Dimension. Man neigtzu denken, dass es ein Objekt in 4. Dimension gibt, das fünf*ckpunkte besitzt und dass die Reihe fortsetzt. Wir sehen auch, dassbei den Kanten, dem Dreieck und dem Tetraeder sind zwei Eckpunktejeweils durch eine Kante verbunden. Wir müssten die 5 Eckpunktepaarweise verbinden, aber machen wir uns keine Sorge darum, in welchemRaum machen wir die Zeichnung, und dann zahlen wir 10 Kanten. Nun dieSeiten: bei unserem Objekt berandet jedes Tripel von Eckeneinedreieckige Seite. Wir sehen auch zehn. Jetzt müssen wir auch einTetraeder für jedes Viertupel von Ecken einfügen. Dasfertigkonstruierte Objekt ist nicht sehr deutlich… Wir kennenseine Ecken, Kanten, Seiten, dreidimensionale Seiten, aber wirkönnen es nicht sehen. Der Mathematiker redet über Kombinatorik,damit beschreibt er was wir haben: wir wissen welche Kanten welcheEcken verbinden, aber wir haben keine geometrische Aufbildung desObjektes. Das Objekt, dessen Dasein wir vorgesagt haben, und das dieFolge „Geradensegment, Dreieck, Tetraeder“ fortsetzt wird„Simplex“gennant. |  |
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3. Die Polyedern Schläflis
Die Vielecken werden in der Ebene gezogen und sowerdendie Polyedern im Raum. Die Entsprechungen in der vierten (oder mehr!)Dimension im Allgemeinen Polytopen gennant, obwohl sie werden auch oftPolyedern gennant, ohne weiteres.
Sowie Platon über die regelmäβigePolyedern im Raum redete, beschrieb Schläfli alle dieregelmäβige Polyedern in 4. Dimension. Einige haben einenunvorstellbaren Reichtum, den der Film der dreidimensionalen Zuschauern(wir alle) zu zeigen versucht. Er macht so, als er die PlatonischePolyedern zu den Echsen zeigte, eher er einen Blumenstrauβ oderein Buch vorstellt (offen gesagt, die Autoren des Filmes würdengern einen Blumenstrauβ in Dimension 4 uns zeigen, aber das istleider nicht möglich!). Hier einer der schönsten BeitragenSchläflis: die genaue Beschreibung der sechsregelmäβigen Polyedern in der vierten Dimension. Da ja sie 4.Dimension haben, haben sie Ecken, Kanten, Seiten und dreidimensionaleSeiten. In der folgende Tafel können sie die Namen jedes Polyederslesen, sowie seine Ecken, Kanten, Ebene und dreidimensionale Seiten.
| Einfacher Name | Name | Ecken | Kanten | 2DSeiten | 3DSeiten |
| Simplex | Pentachoron | 5 | 10 | 10 Dreiecke | 5 Tetraeder |
| Hyperwürfel | Tesseract | 16 | 32 | 24Quadrate | 8 Würfel |
| 16 | Hexadecachoron | 8 | 24 | 32Dreiecke | 16 Tetraeder |
| 24 | Icositetrachoron | 24 | 96 | 96Dreiecke | 24 Octaeder |
| 120 | Hecatonicosachoron | 600 | 1200 | 720 Pentagone | 120 Dodecaeder |
| 600 | Hexacosichoron | 120 | 720 | 1200Dreiecke | 600 Tetraeder |
Die Methode der Schnitte: Zuerst können wir wie die Echsen tun. Wir sind in unseremdreidimesionalen Raum und wir stellen uns vor, dass ein Objekt unserenRaum nach und nach durchdringt. Nun ist die Schnitte kein Vieleck, sondern einPolyeder,das sich verformt. Wir können eine intuitive Schätzung derForm des Polyders machen. Dafür müssen wir die Schnitte, dienach und nach sich verformen und schlieβlich verschwinden,beobachten. Das Objekt umzufassen ist nicht leicht: es ist schwierigerfür uns als für die Echsen… Im Film machen wir uns mit drei Polyeder vertraut:nämlich das Hyperwürfel und die sogenannte „120“ und „600“.Sie schneiden unseren Raum und stellen die Schnitte aus, dieverformende dreidimensionale Polyedern sind. Beeindruckend! Trotzdem esist nicht leicht zu verstehen. Rechts sehen Sie die „600“,die unseren dreidimensionalen Raum durchdringt. |  |
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Da ja es ist nicht leicht, die vierte Dimension zuverstehen, es ist nicht nutzlos, sich ergänzende Methode zu bedienen.
 | Die Methode der Schatten: Die andere im Film gezeigte Methode istverständlicher als die von der Schnitten. Die konnten wir auch mitden Echsen verwendet haben. Das macht der Künstler, der einedreidimensionale Landschaft mit seiner zweidimensionalen Leinwandvorstellen will. Er proji*ziert das Bild auf seine Leinwand. ZumBeispiel, er kann ein Strahlenbündel hinter das Objekt legen undden Schatten auf seine Leinwand beobachten. Der Schatten verschafft nurunvollständige Information über das Objekt, aber wenn wir dasObjekt im Licht drehen, dann sehen wir den verformenden Schatten undkönnen wir ein ganz genaues Bild der Gestalt des Objektesaufbauen. Das ist die Kunst der Perspektive. Hier ist es dasselbe: wir können bedenken, dassdasvierdimensionale Objekt, das wir darstellen wollen, ein Scheinwerferdahinter hat, der sein Schatten auf unseren dreidimensionalen Raumprojeziert. Dreht sich das Objekt, so der Schatten verformt sich undwir stellen uns die Gestalt des Objektes vor, selbst wenn wir es nichtsehen können. Zuerst sehen wir das Hyperwürfel, offensichtlich deutlicherals die Schnitte. |
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Danach die „24“,auf die Schläfli unserer Meinung nach am stolzen war. Der Grundist es, dass der Neuling echt neu ist, er ist gar keine Entsprechung zueinen dreidimensionalen Polyeder, wie die anderen. Auβerdem hat erdie wunderbare Eigenschaft, selbstdualzu sein: er hat zum Beispiel so viele ebene Seite wie Kanten, und soviele dreidimensionale Seiten wie Ecke.
Diese neue Aussicht stellt uns andere Aspekte dervierdimensionalen Polyeder vor, die offensichtlich kompliziert sind.Beide Methoden, die Schnitte und die Schatten, haben viele Vorteile,aber man muβ zugeben, dass sie die ganzeGleichmäβigkeit, die alle diese herrliche Objekten anbietennicht zeigen.
Im folgenden Kapitel werden wir eineandereMethode nützen, nämlich die stereographische Projektion.Vielleicht ist sie erhellender.
5. In Dimension 4 „zu sehen“: diestereographische Projektion.
(sehen Sie dasvierte Kapitel des Films: die vierte Dimension, Fortsetzung)
Schläfli bietet eine letzte Methode an, umvierdimensionale Objekten uns vorzustellen. Sie ist einfach diestereographische Projektion. Trotzdem handelt es sich natürlichnicht um die Projektion, die Hipparch uns im 1. Kapitel gezeigt hat.
Stellen wir uns vor, dass wir im vierdimensionalenRaumsind und wir eine Sphäre betrachten. Um sie zu definieren,nützen wir die gewöhnliche Definition: sie ist die Menge alljener Punkte, die gleichen Abstand zu einen Mittelpunkt haben, derZentrum genannt wird. Wir wissen, dass die Sphäre, die derdreidimensionalen Raum enthält, zweidimensional ist, weil jederPunkt auf die Sphäre durch seinem Längen- und Breitengradbestimmt ist. Gewissermaβen können wir sagen, dass dieSphäre im dreidimensionalen Raum nur 2. Dimension hat, weil sieeine Dimension „mangelt“, nämlich die Höheüber der Sphäre. Gleichfalls hat die Sphäre imvierdimensionalen Raum 3. Dimension und ihr „mangelt“ aucheine Dimension, die nochmals die Höhe über der Sphäreist.
Was ist die Sphäre in einer Ebene, das heiβt,in einem zweidimensionalen Raum? Sie ist die Menge all jener Punkte,die gleichen Abstand zu einem Zentrum haben, nämlich ein Kreis. Soein Kreis ist eine Sphäre in einem zweidimensionalen Raum, und erhat 1. Dimension, da es nur ein Zahl nötig ist, um ein Punkt desKreises zu bestimmen.
Noch überraschender: was ist eine Sphäre ineinem eindimensionalen Raum, das heiβt, in einer Gerade? Sie istdie Menge all jener Punkte, die gleichen Abstand zu einem Zentrumhaben. Es gibt nur zwei Punkte, einer links und der anderer rechts. Sodie Sphäre im eindimensionalen Raum enthält nur zwei Punkte.Kein Wunder, dass sie Nulldimension hat.
Kurz und gut: Im n-dimensionalen Raum hat dieSphäre n-1 Dimension. Deshalb nennen sie die Mathematiker Sn-1.
| S0 | S1 | S2 | S3 |
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Der Beginn des Kapitels erzählt, wasdieS3Sphäre ist, aber na ja, nicht einmal Schläfli kann sie unszeigen. Höchstens kann er uns eine S2 Sphäre zeigen und unsermutigen, dass wir uns dieS3Sphäre vorstellen, als ob wir im vierdimensionalen Raumwären. Die von Hipparch vorgestellte stereographische Projektionprojeziert dieS2Sphäre auf die am Südpol Tangentialebene. Wir können so mitderS3 Sphäreverfahren. Wir nehmen den am Südpol derS3Sphäre Tangentialraum, der dreidimensional ist, und nun können wirjeden Punkt derS3Sphäre, mit Ausnahme des Nordpols, auf unseren Raum abbilden. Esgenügt, die Gerade, die den Nordpol mit dem Punkt verbindet, zuverfolgen, bis sie den am Südpol Tangentialraum trifft. DieKonstellation ist völlig analog zu der früher gesehene,selbst wenn dieses ein vierdimensionales Verfahren ist. |  |
 | Vermuten wir, dass Schläfli ein vierdimensionalerPolyeder uns zeigen will. Er wird so fortfahren, wie es wir mit denReptilien gemacht haben. Er wird ihn zu einer Sphären aufblasen,bis er auf die Sphäre abgebildet ist. Nun kann er auf den amSüdpol Tangentialraum, der „unsere“ Raum ist,stereographisch proji*zieren, und so können wir die Projektionsehen. Wir können auch dieS3Sphäre drehen und dann runterproji*zieren, und der Tanz desPolyeders beobachten. Wir bemerken, dass wenn wir die Sphäredrehen, von Zeit zu Zeit eine Seite den Projektionspol trifft und dieProjektion unendlich groβ wird. Es scheint als ob sie auf denBildschirm explodieren würde. Wir haben derselben Eindruck wie im2. Kapitel, wenn die Polyedern auf die Ebene proji*ziert wurden. Das wird im 4. Kapitel vorgeschlagt: die PolyedernSchläflis stereographisch proji*zieren und sie gleichzeitigdrehen… |
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Die Geometrie des vierdimensionalen Raums ist nurderAnfang, weil es die Fünfte, die Sechste, und selbst die unendlicheDimension gibt! Sie, die anfänglich als reine Abstraktionenbetrachten wurden, sind nun im modernen Phisik weit genützt. DieRelativitätstheorie Einsteins postuliert, dass der Raum und dieZeit miteinander zu einer vierdimensionalen Raumzeit verbunden sind.Ein Punkt in dieser Raumzeit ist ein Ereignis, das durch seineräumliche Lage x, y, z und durch den Augenblick t, zu dem esstattfindet charakterisiert wird.
Die Kraft der Relativitätstheorie ist es, diesevier Koordinaten gewissermaβen vermischen zu können, ohne dieZeit und den Raum qualitativ zu unterscheiden, und so verlieren sieihre Eigenart. Wir werden hier dieseTheorienicht erklären, weil Schläfli sie unter anderem nicht kannte.Die Theorie Einsteins stammt aus 1905, ziemlich später als dieEntdeckung der vierten Dimension. Es ist nicht das erste Mal, nichtauch das Letzte, wenn der Physik und der Mathematik aufeinander wirken,jede mit seinen Methode, mit verschiedene Zielen und Begründungen,aber trotzdem so ähnlich…
Andererseits, die aktuelle Physik redet überRäume, die 10. Dimension oder mehr haben, und die Quantumphysikarbeitet in einer unendlichen Dimension, nicht wahr? Man wird nochwarten müssen, bis zu wir einen Film über zehndimensionaleRäume drehen...
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